sábado, 31 de julio de 2010

Apartado X: Vectores

Puede que sea la primera vez que oís hablar de los vectores (o puede que ya lo sepáis), y por eso, os voy a decir su definición:

Un vector es un segmento orientado que tiene su origen en un punto determinado y su extremo, en otro punto distinto. Podemos llamar al punto de origen A y al extremo B. Un vector tiene forma de flecha.

Como podéis observar, las letras que designan a un vector cualquiera siempre llevan flechas superpuestas.

Características de los vectores:

Poseen:

-Módulo: Es su valor numérico.

-Dirección: Es la recta que contiene al vector.

-Sentido: Es hacia donde está orientado el vector.

-Punto de aplicación: Es el punto del que parte el vector (Esta propiedad se utiliza más en Física).

Ya veréis que el vector nulo se escribe mediante un cero y una flecha superpuesta: 0(-->)

Propiedades de los vectores:

-Dos vectores son equipolentes si su módulo, dirección y sentido son iguales.

-Todos los vectores equipolentes entre sí constituyen un único vector, llamado vector libre.

-El conjunto de todos los vectores libres se designa mediante V².

OPERACIONES CON VECTORES

No solo son segmentos planos o espaciales. Con ellos, podemos, además, realizar operaciones sencillas, como sumas, restas y productos.

SUMA VECTORIAL

Imaginad que tenemos 2 vectores, A y B. Si queremos efectúar su suma, debemos realizar lo siguiente:

-En primer lugar, "ordenamos" los vectores, haciendo coincidir el extremo del primero con el origen del segundo.

-2º: Se traza un vector suma que abarque desde el origen de A hasta el extremo de B.

La imagen inferior os lo explica de forma ilustrada, donde A y B son los vectores sumandos, y C el vector suma. C= A + B
RESTA DE VECTORES

Al igual que sumamos, también podemos restar vectores. Realizamos lo siguiente:

-Si queremos restar vectores, la mayoria de las veces ambos nos van a salir del origen, así que esto es fácil.
-Al restar, debemos dibujar un vector que vaya desde el extremo del primero hasta el extremo del segundo. La ilustración os lo explica mejor.


PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

Un escalar es un número cualquiera. Si al vector lo multiplicamos por un escalar, estaremos también multiplicando su módulo. Imaginad, como en la imagen de abajo, el vector A. Véis que si le multiplicamos por 2, nos queda 2A, además de duplicar su longitud (módulo). El vector verde o 3A triplica la longitud del vector A.
VECTOR DE POSICIÓN
Es aquel que parte del origen de coordenadas y llega hasta un determinado punto en el plano.

SUMA Y RESTA DE VECTORES (trabajando con unitarios, de módulo 1).

Imaginad que tenemos estos dos vectores---> (2i + 3j) y le sumamos (5i + j):

(2i + 3j) + (5i + j) = i(2+5) + j(3+1) = (7i + 4j)

¿Y si los queremos restar? Pues hacemos lo siguiente:

(2i + 3j) - (5i + j) = i(2-5) + j(3-1) = (-3i + 2j)

PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR

Basta con multiplicar las coordenadas cualesquiera de un vector por un número:

Ej: v=(2,3) ----> 4(2,3) = (8,12)

VECTOR DETERMINADO POR DOS PUNTOS

Ahora quiero que penséis lo siguiente: Tenemos dos vectores, como el a y b de abajo. Pero queremos unirlos mediante un vector que vaya desde b hasta a. Como vimos anteriormente, ese vector será un vector diferencia, d. Con lo que, si llamamos al extremo del vector b "B", y al extremo del vector a "A", podremos formar el vector BA, pero como hablamos de vector diferencia, el vector BA = A - B. Así obtendríamos las coordenadas del vector BA, ya que el vector d es igual al vector a menos el vector b.

MÓDULO DE UN VECTOR Y DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Un vector es un segmento que también posee un módulo, es decir, un determinado valor, expresado en unidades (u). El módulo de un vector siempre va a ser un número.

¿Cómo se calcula el módulo de un vector?
Por ejemplo, vamos a observar el dibujo que tenéis abajo. Un vector, en un plano, siempre tiene coordenadas, que indican su desplazamiento y su subida o bajada. Si trasladamos esas coordenadas de desplazamiento y altura, podemos ver que formamos un triángulo rectángulo con el vector. Y si tenemos dos catetos (coordenadas) y una hipotenusa (vectorr), podemos aplicar el teorema de Pitágoras, despejando la hipotenusa y hallando su valor. Recordad que el vector coloreado en rojo corresponde a la hipotenusa del triángulo rectángulo formado.
Fórmula para hallar el módulo:
La letra(s) con la(s) que se designa al vector debe ponerse entre barras verticales, como el valor absoluto.
La distancia entre dos puntos consiste en calcular la distancia que existe entre dos puntos en el plano cartesiano a traves de vectores. Si un vector, AB = B - A, al hallar la distancia tendremos que restar las coordenadas de B a las coordenadas de A.
La fórmula es diferente, pero da el mismo resultado que el módulo de un vector.

Demostración en el plano para hallar el módulo de un vector.


PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Tenemos un segmento, que va desde el punto A hasta el punto B, y queremos hallar su punto medio. Pero, ¿cómo lo hacemos?

Se aplica la siguiente fórmula, para hallar dicho punto medio.
La demostración... ya os la enseñare.

CÁLCULO DE LAS COORDENADAS DE UN PARALELOGRAMO

Esto es sencillísimo. Imaginad que tenemos 4 puntos, A,B,C y D. Cada uno tiene unas determinadas coordenadas conocidas, pero no sabemos las de D. ¿Cómo las hallamos?

Muy fácil :). Sólo tenemos que componer un par de vectores equipolentes y luego operamos.

Pensad que un vector puede ser AB, por ejemplo, y otro CD. Comprobamos que son equipolentes entre sí, y establecemos la siguiente igualdad:

AB = CD
Despejando D:
B - A = D - C --> D= C + B - A

Sabemos que podemos obtener ese punto al sumar C y B y al restar A.

CONDICIÓN DE ALINEACIÓN DE 3 PUNTOS

Si nos dan 3 puntos del plano cartesiano, ¿cómo sabemos si están alineados y forman un segmento?
Pues debemos realizar lo siguiente:
1-Suponed que tenemos 3 puntos, A, B y C. Para saber si están alineados, podemos hallar los vectores AB y AC, ya que este último engloba al vector AB [ya lo veréis cuando haga la demostración ;)]. Si tenemos las coordenadas de los vectores, debemos comprobar si son proporcionales mediante la siguiente fórmula: Si al multiplicar en cruz, el resultado es igual, los 3 puntos están alinedos.
Ahora vamos a entrar en un subapartado que le voy a llamar así:

Subapartado I: Estudio de la recta

Ya que estamos en una entrada de Geometría, podemos utilizar los vectores para estudiar las rectas en el plano.

Para ello, tenemos que saber las ecuaciones de la recta. Son las siguientes:

1-Ecuación vectorial de la recta.
2-Ecuaciones paramétricas.
3-Ecuación continua.
4-Ecuación general o implícilta.
5-Ecuación explícita.
6-Ecuación punto-pendiente.

Hablaremos también del concepto de pendiente, y finalizaremos con rectas paralelas y secantes, y haz de rectas secantes.
1-ECUACIÓN VECTORIAL.
Tenemos una recta cualquiera en el plano. Tomamos dos puntos de la recta, A, con coordenadas (a1,a2) y X, con coordenadas (x,y). Definimos un trozo de ella con un vector director (v, vector que guía la recta), pero multiplicando a un número λ* (parámetro de la ecuación), ya que el vector, por si solo, no llega al punto X.
*λ: Letra griega llamada lambda. En matemáticas, designa al parámetro de la ecuación vectorial. En física, representa la longitud de onda.

-Más tarde, podemos plantear una suma vectorial, que incluya a la recta. Para ello, trazamos un vector que salga desde el origen, O, hasta el punto A, y otro vector, desde el origen hasta el punto X. Esta relación recibe el nombre de ecuación vectorial de la recta, que matemáticamente expresado, querría decir lo siguiente:
Esto corresponde a lo siguiente ----> (x,y) = (a1,a2) + lambda(v1,v2)


2-ECUACIONES PARAMÉTRICAS.

Si tenemos una ecuación vectorial, podemos hacer una igualdad con x e y, describiendo, en este caso, 2 ecuaciones paramétricas.

El número λ sigue siendo el parámetro de la ecuación. En ambos tipos de ecuaciones:

λ ∈ R
3-ECUACIÓN CONTINUA.

Con las paramétricas presente, podemos despejar λ en ambas, y como lambda es igual a lambda, se cumple lo siguiente:
Al ver que las letras griegas son iguales, sus expresiones también.


4-ECUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITA


Al multiplicar en cruz los componentes de la ecuación continua, se obtiene lo siguiente (ya os pondré de dónde sale):

5-ECUACIÓN EXPLÍCITA

Si en la ecuación implícita despejamos "y", obtenemos la ecuación de la recta más usada: la explícita.

6-ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE

-No obstante, siempre podemos hallar otra ecuación, partiendo de la ec. continua y dividiendo v2 entre v1 (coordenadas del vector director) obteniendo una pendiente (ahora lo véis con más profundidad), y la siguiente ecuación:



PENDIENTE

La pendiente, palabra muy conocida, es definida así por el diccionario clave: Declive o grado de inclinación. Efectivamente, la acepción es correcta. La pendiente en un plano nos demuestra ese grado de inclinación o declinación de una recta. En matemáticas, existen varias formas de hallarla, estando entre ellas el famoso cociente entre el incremento de "y" y el incremento de "x", además de la aplicación de la tangente...Ejercicio I: Dibuja la gráfica 2x, y determina la pendiente por los tres métodos indicados.

RECTAS PARALELAS Y SECANTES

Aquí no hay mucho que decir. Sólo las condiciones necesarias para que dos rectas sean paralelas o secantes:

-Dos rectas son paralelas si las coordenadas de sus vectores directores son proporcionales.

-Dos rectas son secantes si las coordenadas de sus vectores directores no son proporcionales.

-Si dos rectas tienen la misma pendiente, son paralelas.

-Si dos rectas no tienen la misma pendiente, son secantes.

¡Ojo! Si tenemos dos rectas con pendiente de idéntico número pero distinto signo, son secantes.

HAZ DE RECTAS SECANTES

Un haz de algo es un sitio por el que pasan o del que salen muchas figuras. Precisamente, el haz de rectas secantes consiste en un punto por el que pasan todas las rectas secantes que se corten en ese punto. La ecuación para la determinación del haz de rectas secantes es:



Con m ∈ R
Definición: Llamamos haz de rectas secantes al conjunto de todas las rectas del plano que pasan por un determinado punto, ya sea A, B, C, etc...
Hasta aquí os puedo decir todo lo que sé sobre vectores en el plano. Recordad que esta entrada pertenece a la rama matemática de la Geometría Analítica. Esta Geometría Analítica es en el plano (2 dimensiones), pero en 2º de bachillerato, se da Geometría Analítica en el espacio (3 dimensiones). En fin, que si tenéis alguna duda, dejadme un comentario, y yo os la resolveré :)

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