Apartado I: Funciones

Empezamos diciendo qué es una función:
Una función (f) es una correspondencia entre dos conjuntos numéricos cualesquiera, A y B, que asocia a cada elemento de A (llamado dominio de la función) un único elemento de B (recorrido de la función). Una función, f, entre A y B, se representa de esta manera:

f: A→B

Si ambos conjuntos, A y B, están formados por números reales, la función se denomina de esta manera: función real de variable real.

Ahora que ya sabemos qué es una función, analizamos en ella:

1. La variable independiente de la función, x.---->Elementos del dominio (D).
   
2. La variable dependiente de la función, y.----> Elementos del recorrido.
   
3. La ecuación de la función, y=f(x).
   
4. La gráfica de la función, formada por todos los puntos del plano cartesiano-->Coordenadas (x, f(x)).

Al representar una función gráficamente, podemos observar distintas propiedades:

-Las funciones pueden ser monótonas crecientes o decrecientes:

-Crecientes: ↑x=↑y Decrecientes: ↑x=↓y


Donde ↑ significa "aumenta el valor" y ↓ quiere decir "disminuye el valor".


-Cada función posee unos máximos y mínimos relativos. También podemos hablar de máximos y mínimos absolutos.


-Respecto a la simetría, una función es:

Par, si la función y=f(x) es simétrica respecto al eje OY, y si cumple que f(x)= f(-x).

Impar, si la función y=f(x) es simétrica con respecto al origen de coordenadas, y si cumple que: f(x)=-f(-x).

-Una función puede ser continua (no presenta interrupciones) o discontinua, cuyos puntos en los que se interrumpe la gráfica reciben el nombre de puntos de discontinuidad. La continuidad de una función se suele investigar mediante limites.

Ya conocidas todas las características de las funciones, vamos a adentrarnos en los tipos que existen:

1. FUNCIONES POLINÓMICAS

1. 1 Constantes, lineales y afines.

1. Primero, recordad que la forma de la ecuación explícita era esta:

   y=mx+n

   donde m es la pendiente de la recta, y n la ordenada en el origen.

Entonces, una función es:

-Constante, si m=0---->f(x)=3

-Lineal, si m≠0 y n=0---->f(x)=2x

-Afín, si m≠0 y n≠0---->f(x)=4x+3

1. 2 Cuadráticas.

Acordaros de que las funciones cuadráticas eran aquellas de grado 2 y su forma era:

y=ax^2+bx+c

donde ^ significa "elevado a"y "a" es distinto de 0 (a ≠ 0), porque si a es 0, sería una función de grado 1.

Al representarlas graficamete, describen una parábola. Su dominio es R (números reales).

Para representarlas, basta con realizar lo siguiente:

1-Hallamos el vértice V(x,y). Para hallar x, utilizamos la siguiente fórmula:

x=-b/2a

Para hallar y, sustituimos x en la expresión cuadrática.

2-Construimos una tabla de valores, y damos algunos valores a la ecuación cuadrática.

2. FUNCIONES POTENCIALES


2. 1 Tienen la forma----> y=ax^n, con a ≠ 0. El acento circunflejo francés, ^, significa "elevado a".

Características:

-Son funciones continuas cuyo dominio es R.

-Las funciones de exponente par son funciones pares y pasan por el punto O(0,0).

-Las funciones de exponente impar son funciones impares.









Función---> y=x^3

2. 2 Otras funciones polinómicas.

Se refiere a otras funciones de grado >2. Por ejemplo--> f(x)=x^3-2x^2-x+2

-Para representarla, primero se hallan los puntos de corte con OX y OY.

-A continuación, aplicamos la regla de Ruffini para descomponer en factores la expresión cúbica.

-Hallamos un valor cualquiera de f(x) en cada intervalo, para determinar por dónde se tiene que representar la gráfica. Por último, la representamos.


3. FUNCIONES RACIONALES ELEMENTALES

3. 1 Tienen la forma y=P(x)/Q(x), donde P(x) y Q(x) son polinomios. El grado de Q(x) debe ser
mayor o igual que 1.

En estas funciones, se suele indicar el dominio que tienen. Por ejemplo:

-El dominio de f(x)=1/x-1 es D(f)=R - [1].

Esto es porque si la x en el denomidador fuera 1, sería 1-1-=0 y 1/0 no existe (∄).

El dominio lo podéis hallar así: Si x-1=0--->x=1--->con lo cual--->D(f)=(-∞, 1) ⋃ (1, ∞)

3. 2 Funciones racionales de ecuación y=k/x.

-Reciben el nombre de funciones de proporcionalidad inversa. D=R - [0].

-Su representación gráfica desvela hipérbolas.

-Son hipérbolas, que tienen por rectas asíntotas los ejes de coordenadas.

-Se hablan de tendencias, que reciben el nombre de límites.

lim (x→+-∞) 1/x= 0

lim (x→0) 1/x=+-∞

3. 3 Funciones racionales de ecuación y=ax+b/cx+d

-Métdodo para hallar su representación gráfica:

1-Hallamos sus asíntosas*.


*Las asíntotas son rectas a las que se aproxima una función sin llegar a cortarlas.


As. horizontal : Dividimos coeficientes de x.

As. vertical: Igualamos el denominador a 0 y hallamos x.


2-Damos un par de valores a la función.

Ej:

y=3x-1/x-2 -----> As. horizontal: 3/1-=>y=3 \ As. vertical: x-2=0-->x=2

Al dar unos valores, se obtiene la siguiente gráfica:






f(x)=3x-1/x-2

4. FUNCIONES DEFINIDAS POR INTERVALOS (A TROZOS)

Este tipo de funciones las voy a explicar un poquito. Veréis, si en el plano cartesiano, definimos un intervalo cualquiea (por ejemplo, [0,2]), y tenemos la ecuación y=3x, lo que debemos hacer es pintar la funcion dada en el intervalo [0,2]. Igualmente, si nos dan otra función, haremos exactamente lo mismo con el fin de represetarla.

4.1 Funciones a trozos discontinuas.

El mismo título lo dice. Se trata de funciones discontinuas, que están representadas a trozos. Os voy a poner un ejemplo y un ejercicio para que aprendáis a manejarlas. Normalmente, estan funciones están metidas en llaves, pero aquí no lo puedo hacer.

f(x)=

-x+1, si x se es mayor o igual que 0 y menor que 1.

x²-4x, si x es mayor que 1 y menor o igual que 5.

Este era el ejemplo de función compuesta. El ejercicio es el siguiente: Estudia si la función es continua en x=1. Recuerda que si los límites son iguales, la función es continua, y si son distintos, es discontinua.

lim (x→1-[ 1 por la izquierda]) -x+1=0

lim (x→1+[1 por la derecha]) x^2 -4x=-3

0 ≠ -3 --------> La función es discontinua.

5.
FUNCIONES RADICALES

Una función radical es aquella de la forma f(x)= √(x ).

Características:

-x siempre tiene que ser mayor o igual que 0 (x ≥ 0).

-D= [0, +∞).

6. FUNCIONES DE VALOR ABSOLUTO.

Estas funciones tratan de convertir todo signo negativo presente en una función en una expresión positiva. Ejemplo: /f(x)/=/x/ --->Estas barras son verticales, no diagonales. Es que no puedo ponerlas rectas.

7. FUNCIONES COMPUESTAS

Imaginad que queremos componer dos funciones. ¿Cómo lo hacemos?

(g ∘ f)(a)= g(f(a))

Enunciado: La función f compuesta con g es el resultado de hacer g a lo que sale de hacer f.

Ejemplo:

f(x)= x^2-3x/ g(x)=2x+1

(g ∘ f)(x)=g(f(x))=g(x^2-3x)=2(x^2-3x)+1=2x^2-6x+1

8. FUNCIONES INVERSAS

Se corresponde con la función inversa de una función cualquiera.

(f ∘f^-1)(x)=x

¿Cómo se halla una función inversa?

1-Sustituimos f(x) por y.

2-Intercambiamos x por y e y por x.

3-Despejamos y, y obtenemos nuestra función inversa.

4-Podemos comprobar si la función inversa es correcta componiendo esta con su antiinversa (seguir fórmula superior en morado).

Ejemplo:

f(x)=1/x-1---->y=1/x-1--->x=1/y-1----->y-1=1/x--->y=1+x/x-->f^-1(x)

Realizamos la composición de funciones para comprobar si es correcta:

(f ∘ f^-1)(x)=f(f^-1(x))=f(1+x/x)=1/(1+x/x)+1=x

Si el resultado es x, nos quiere decir que está bien.

TASA DE VARIACIÓN MEDIA.

Es el cociente entre el incremento de "y" y el incremento de "x".

La tasa de variación media o gradiente de una función f, en el intervalo [x1,x2] es el cociente:

TVM[x1,x2]=f(x2)-f(x1)/x2-x1

Si TVM [x1,x2] > 0, la función crece en dicho intervalo.

Si TVM [x1,x2] es menor que cero, la función decrece en dicho intervalo

Ejemplo:

Calcular la TVM en el intervalo [1,5], si tenemos la siguiente función: V(t)=t^2 + 2t.
El ejercicio trata de averiguar el volumen medio de agua que vierte un grifo.

TVM[1,5]=(5²+ 2 * 5)-(1²+ 2 * 1)/5-1= 8 l/s

La TVM también se pueden representar gráficamente.

NUEVOS TIPOS DE FUNCIONES

1. FUNCIONES EXPONENCIALES

Son aquellas en las que la variable independiente aparece en el exponente de una potencia que tiene por base un número real positivo.

Forma: y=a^x

-Tipos

1. 1 Funciones con a > 1

Características:

-D= R; Recorrido=(0,∞)

-Pasan por (0,1)

-Asíntota en el semieje negativo de abcisas.

-Son continuas y monótonas crecientes en R.

1. 2 Fuciones con "a" mayor que cero y menor que 1

Características:

-Asíntota en el semieje positivo de abcisas.

-Igual dominio que las anteriores.

-Monótonas decrecientes en R.

-Pasan por (0,1).

Ejemplos:

y=-2^x

y=2^(x-2)

2. FUNCIONES LOGARÍTMICAS

La función logarítmica de ecuación y=log(a) x es la inversa de la función exponencial de ecuación x=a^y

Recordad la definición de logaritmo.

-El logaritmo en base b de a es el número al que hay que elevar b para que me de a.

log(b) a=c

donde b es la base, a el argumento y c el logaritmo

Características:

-D=(0, ∞)

-Continuas en (0,+∞).

-Monótonas crecientes con a>1: asintóticas con semieje negativo OY.

-Monótonas decrecientes cuando a es mayor que 0 y menor que 1: son asintóticas con el semieje positivo OY.

Ejemplos:

y=log x

y=ln x

...

Ecuaciones exponenciales y logarítmicas:

También existen ecuaciones de este tipo. Métodos de resolución.

1-Exponenciales:

1.1 La ecuación puede ser reducida a una igualdad de potencias de la misma base:

3^2x+1=81↔3^2x+1=3^4↔2x+1=4↔2x=3↔x=3/2

1.2 A veces, es necesario realizar un cambio de variable.

2-Logarítmicas:

2.1 Si la incógnita aparece en la base del logaritmo, podemos hacer una ecuación exponencial.

2.2 Si la incógnita aparece en el argumento, tenemos que realizar una igualdad de logaritmos en la ecuación. Después, quitamos logaritmos y resolvemos la ecuación normal.

Ejercicio:

log2 x=4--->log2 x=log2 16--->x=16

Una unidad de ángulos: el radián (rad)

Un radián (rad) es el ángulo determinado por un arco de circunferencia cuya longitud coincide con el radio.

360º=2π rad

180º = π rad

Podemos pasar todos los ángulos existentes en grados (º) a radianes (rad) mediantes reglas de tres.

3. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

3. 1 y=sen x

Características:

-Es una función periódica de período 2π:

sen x=sen (x + 2kπ)

-Continua en R. Recorrido: [-1,1].

-Es una función impar.

-Presenta intervalos de crecimiento y decrecimiento.

-Máximos: π/2 + 2kπ

-Mínimos: -π/2 + 2kπ

3.2 y=cos x

Características:

-Es una función periódica de período 2π:

cos x=cos (x+2kπ)

-Es una función par.

-Presenta intervalos de crecimiento y decrecimiento.

-Continua en R.

-Máximos: x=2kπ
-Mínimos: x=π + 2kπ
-Corta con y=sen x en x=π/4 + kπ/2

3.3 y=tg x

Características:

-Es una función periódica de período π:

tg x=tg(x+2kπ)

-Es una función impar.

-Es asintótica con las rectas de ecuaciones x=π/2 + kπ

-Es discontinua en x=π/2 + kπ.

k ∈ Z

También hay ecuaciones trigonométricas, por si a alguno le interesa hacerlas.

1) sen x=1/2 , y sabemos que x se encuentra entre 0 y "4pi".

2)cos (x-π/2)=0 en el intervalo [-π,π] rad

3)tg x=√3 en el intervalo [0, 3π] rad

Hasta aquí todo lo que sé sobre funciones y sus tipos. Las funciones forman parte del ANÁLISIS MATEMÁTICO, una rama matemática, que también engloba a límites matemáticos, derivadas, integrales, etc. Un día de estos os haré algún ejemplo de integrales. En fin, la información que he puesto en este primer apartado de matemáticas no es poca, y espero que hayáis aprendido un montón. Las funciones os introducen al mundo de análisis matemático. Cuando déis integrales(o los que ya las habéis dado) veréis que nos permitirán hallar el área de un intervalo de una función cualquiera. Las derivadas son lo inverso a las integrales. En fin, que si tenéis alguna duda, no tenéis más que decírmelo.