miércoles, 21 de julio de 2010

Apartado VI: Potencias, raíces y logaritmos

Hola a todos de nuevo. Escribo esta entrada con una sencilla razón: ayudar a aquellas personas que tengan dificultad con estas operaciones matemáticas. Ahora, doy paso a la entrada.

POTENCIAS

Recordad que una pontencia consiste en un número cualquiera, llamado base, que está elevado a otro número, llamado exponente, obteniendo así su resultado.

Mecanismo para realizar potencias de exponente positivo(si n > 0):


Como podeis ver, una potencia consiste en un producto del mismo factor, tantas veces como indique el exponente.

Mecanismo para realizar potencias de exponente negativo(donde a es distinto de 0).ipos de potencias que hay, nos vamos a sus propiedades:

*Si se multiplican o se dividen potencias del mismo exponente, se deja este, y se multiplican o dividen sus bases:


*Si se multiplican o se dividen potencias de la misma base, se deja la misma base y se suman o se restan los exponentes:

*"Potencia de una potencia, producto de exponentes". Si tenemos una potencia encerrada en un paréntesis con un exponente, el exponente de la potencia y el del paréntesis se multiplican.

RADICALES

De siempre os habréis preguntado para que sirven los radicales en matemáticas. Pues es una razón muy sencilla.

Imaginad que nos dan x²=4, y no sabemos la base. ¿Qué hacemos?

Es muy fácil. El 2 que cumple la función de exponente, pasa al segundo miembro (4) en forma de raíz cuadrada, ya que el número es 2. Si fuera 3, sería raíz cúbica.

Ejemplo I: Calcula la base de la ecuación x²=4






Para eso sirven los radicales: para hallar la base de una potencia a partir del exponente y el resultado. Yo creo que para vosotros, calcular raíces cuadradas y demás os será fácil. Sólo teneis que observar que pasaría en una potencia si a 2 lo elevas al cuadrado, y te da 4. Al revés, que si haces la raíz cuadrada de 4, obtendrás 2, que es la base.

Elementos radicales:

Algunas propiedades:

*Al introducir un número en un radical, debemos elevar este al número que indique el índice.

*Al sacar un número de un radical, debemos obtener una potencia del radicando, siempre y cuando su exponente sea el mismo que el índice.

*Los radicales se pueden amplificar o simplificar, multiplicando o dividiendo al índice y al exponente del radicando por un mismo número.

*"Raíz de una raíz, producto de índices".

*Si tenemos un radical metido en un paréntesis y elevado a N, lo podemos poner como raíz "lo que sea" del radicando elevado a N.

*La raíz enésima de índice N con radicando A elevado a M, se puede poner como una potencia de exponente fraccionario, de la forma A elevado a M/N.


LOGARITMOS


¿Os acordáis que con los radicales hallábamos la base de una potencia, no? Pues con los logaritmos, podremos hallar cualquier exponente en una potencia cualquiera.


Definición de logaritmo: "El logaritmo en base a de b es el número al que hay que elevar a para que me dé b".

Elementos logarítmicos:





Ejemplo I: Calcula 2^x=8

Ejemplo II: Calcula 5^x=25
La base de un logaritmo puede ser cualquier número. Pero existen dos tipos de logaritmos que se usan con frecuencia:


1-Logaritmo decimal: Es el logaritmo en base 10 de cualquier número. La base, 10, no se suele poner. Se representa mediante log x.

2-Logaritmo neperiano o natural: Es el logaritmo en base e de cualquier número. El número "e", o número de Euler, es irracional y tiene el siguiente valor: e=2,718...
Se representa por ln x.

Propiedades logarítmicas:

*El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de sus factores.

*El logaritmo de un cociente es igual a la resta de los logaritmos del dividendo y divisor.

*El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente potencial por el logaritmo de la base de antigua potencia.

*Cambio de base. Si os habéis fijado, la calculadora solo trabaja con log x y ln x. Para resolver un logaritmo cualquiera con base distinta a "10" y a "e" de un número, se aplica la fórmula del cambio de base.
"Es el cociente entre el logaritmo de la nueva base y el argumento y el logaritmo con la nueva base de la antigua base".
Las nuevas bases pueden ser:
-log x.
-ln x.

Por hoy ya he explicado todo lo que necesitáis saber sobre potencias, raíces y logaritmos. Pondré alguna imagen refiriéndome a las propiedades radicales y logarítmicas. También existen ecuaciones con radicales, exponenciales y logarítmicas. Si alguno quiere hacerlas, que me lo diga, y le pongo ejercicios.
Si tenéis alguna duda, comentadme :)

P.D.: Esto que digo es aparte.

-Sobre las potencias de exponente racional, puedo deciros que consisten en una potencia de base cualquiera y exponente una fracción cualquiera. Si vistéis la 6º propiedad de las raíces, una potencia de exponente fraccionario se puede poner como una raíz de índice denominador y exponente del radicando el numerador.

-Sobre las potencias de exponente irracional, lo único que puedo deciros es que consisten en elevar a un número un irracional, es decir, que sea un decimal ilimitado. Por ejemplo: 2 elevado a "pi"; 3 elevado a "e".

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