Ejemplo I: P(x): 3x³ + 2x² -5x+9
El polinomio es de grado 3 (es el mayor). 9 es el término independiente, ya que no tiene incógnitas.
Recordad que el grado de un monomio era la suma de los exponentes de sus variables:
3x²y-->Grado 3.
Una vez explicado el término polinomio:
Un polinomio siempre nos aparece en forma de un conjunto de monomios que se suman o se restan. Pero, ¿podemos convertirlo en un producto de factores, es decir, descomponerlo factorialmente?
La respuesta es SÍ.
Gracias a unos métodos muy sencillos que os voy a decir ahora, se puede descomponer fácilmente un polinomio en un producto o multiplicación de factores.
Vamos a manejar el polinomio P(x)=3x³ + 2x²-9x+4
1. Buscamos divisores del término independiente;
+1,-1,+2,-2,+4,-4
Igualamos el polinomio a 0, y sustituimos los divisores en la expresión. Si al sustituir un divisor, el polinomio nos da 0, debemos realizar la Regla de Ruffini que mostraré posteriormente. Digamos que es el primer paso para descomponer un polinomio.
3x³ + 2x² -9x + 4=0
-Sustituimos:
P(1)=3(1)³ + 2(1)² - 9(1) + 6 ↔ 3+2-9+4 = 0
Aplicamos la Regla de Ruffini
A partir de este algoritmo, obtenemos un nuevo polinomio:
P(x)=3x² + 5x - 4
Seguimos descomponiendo.
1.Buscamos divisores del nuevo término independiente;
4-->+1,-1,+2,-2,+4,-4
2-Sustituimos;P(1)= 3(1)² + 5 (1) - 4 ---> 3+5-4 ≠ 0
P(-1)= 3(-1)² + 5(-1) - 4 ---> 3 - 5 -4 ≠ 0
P(2)= 3(2)² + 5(2) - 4= 12 + 10 - 4 ≠ 0
P(-2)=3 (-2)² + 5(-2) -4 ----> 12-10-4 ≠ 0
P(4)= 3(4)² + 5(4) - 4 ---> 48+20 -4 ≠ 0
P(-4)= 3(-4)² + 5(-4) - 4 ----> 48-20-4 ≠ 0
Al no haber más divisores, el polinomio no se puede descomponer más: Es irreducible.
Su descomposición factorial sería:
P(x)=(x-1)(3x² + 5x - 4)
Ya os pondré otro ejemplo en el que salgan más factores.
Aunque también podemos descubrir si el segundo polinomio tiene raíces, aplicando la fórmula para resolver ecuaciones de 2º grado. 
Más tarde, os explicaré el teorema del Resto, muy sencillo, con ayuda de una regla de Ruffini.
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