"Los segmentos determinados al cortar dos rectas secantes por una serie de rectas paralelas son proporcionales entre sí".
Si nos fijamos detenidamente, un triángulo rectángulo tiene mucho que contar (aquel que contiene un ángulo de 90º). Pero antes, os dejo la unidad para medir ángulos:
º: Grado sexagesimal: Es la noventaava parte de un ángulo recto.
Rad: Radián: Es el ángulo determinado por un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio.
Ahora, bien, hablando ya de triángulos rectángulos:
Si os habéis fijado, un triángulo consta de tres ángulos y 3 lados. No obstante, si reconocemos el teorema de Tales, y lo aplicamos a este triángulo rectángulo, podemos obtener una serie de cocientes que nos pueden ser útiles respecto a un ángulo determinado de este polígono. Damos lugar a las razones trigonométricas.
Una razón trigonométrica es aquel cociente establecido entre dos lados de un triángulo rectángulo, generalmente, respecto a un ángulo agudo.
Aunque no lo parezca, la trigonometría es útil en el campo de la construcción. Esto es, porque permite hallar alturas (ya veréis un problema en el que aplicaréis esto), como pilares para sustentar puentes, o sitios inalcanzables, así como la anchura de un río cualquiera. De momento, vamos a dejar esto para el final, y atendemos ahora a las principales razones trigonométricas:
Principales razones trigonométricas:
Seno de alfa. Se representa mediante sen a(en realidad es la letra griega alfa) y se define como el cociente entre el cateto opuesto al ángulo a y la hipotenusa.
-Coseno de alfa. Se representa mediante cos a y se define como el cociente entre el cateto contiguo al ángulo alfa y la hipotenusa.
-Tangente de alfa. Se representa mediante tg a y se define como el cociente entre el cateto opuesto y el cateto contiguo al ángulo alfa.
Estas eran las principales. A partir de éstas, se pueden definir también sus razones trigonométricas inversas, como:
-Cosecante de alfa. Se representa mediante cosec a y se define como el cociente entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo alfa, así como dividir 1 entre sen a.
-Cotangente de alfa. Se representa mediante cotg a y se define como el cociente entre el cateto contiguo y el cateto opuesto al ángulo alfa, así como dividir 1 entre tg a.
Existen más razones trigonométricas, que ya os iré diciendo según avanzemos en la entrada.
Como todo, las razones triogonométricas tienen propiedades:
-El seno y el coseno siempre adoptan valores entre 0 y 1.
-La tangente se puede establecer como el cociente entre el seno y el coseno de alfa.
-Existe una tercera propiedad, que os diré más tarde.
Bien, ya conocemos el concepto de razón trigonométrica, sus tipos y propiedades. Pero, si tenemos distintos tipos de ángulos...¿cuáles son en realidad?
Para determinar las razones trigonométricas de ciertos ángulos, se llevan a cabo ciertos métodos que incluyan su resolución.
Empezaremos con hallar las razones trigonométricas de los ángulos de 30º, 45º y 60º.
Respuesta: Aplicamos el teorema de Pitágoras
Valor diagonal: (Raíz cuadrada de 2) u
Por último, realizamos el sen,cos y tg de 45º.
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ÁNGULOS OPUESTOS
No todos los ángulos que se pueden formar son positivos. Por ejemplo, imaginad una circunferencia dividida en 4 cuadreantes (luego veréis la circunferencia goniométrica).
Podemos formar un ángulo de 45º positivo, o bien, formar un ángulo de -45º, llamándose ángulo opuesto. Eso sí, siempre hay que saber lo siguiente:
-45º -----> 315 º
Y así, con todos los ángulos opuestos.
CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA
La circunferencia goniométrica es aquella en la que podemos trabajar con ángulos y con trigonometría. En ella aparecen los ejes de coordenadas, dividiendo a la circunferencia en 4 cuadrantes (partes iguales en las que se encuentra dividida la circunferencia).
Hasta aquí bien, pero os preguntaréis lo siguiente...¿Qué podemos observar de trigonometría en una circunferencia?
La respuesta es muy sencilla. Veréis, el primer paso es trazar un radio de 1 unidad (sabéis que radio es la línea que une el centro de la circunferencia con cualquier punto). Supongamos, que trazamos el radio en el primer cuadrante (0º-90º). Y, si ya tenemos un radio... podemos dibujar una línea vertical desde el extremo del radio hasta el eje X (punto coincidente con la recta). Si os habéis fijado, hemos dibujado un triángulo rectángulo. Como sabemos los valores de cada lado (radio: 1; eje X: x; línea vertical: y [dado a que coincide con el semieje OY positivo]) podemos averiguar las razones trigonométricas de ese triángulo rectángulo en una circunferencia. Llamemos al ángulo B.
Por esto, deducimos que:
-El seno en la circunferencia goniométrica siempre es el eje Y.
-El coseno en la circunferencia goniométrica siempre es el eje X.
-La tangente se denota por y/x.
Ahora, calculad vosotros cuánto vale la cosecante, la secante y la cotangente en la circunferencia goniométrica.
SIGNOS DEL SENO, COSENO Y TANGENTE
Razones trigonométricas de los ángulos de 0º,90º,180º,270º,360º.
0º; Coordenadas (1,0)
90º; Coordenadas (0,1)
180º; Coordenadas (-1,0)
270º; Coordenadas (0,-1)
360º; Coordenadas (1,0)= Igual que 0º.
A partir de estas coordenadas, deducimos lo siguiente:
En 0º;
Como sen B=y/1=y---> sen 0º=0/1= 0
Como cos B=x/1=x---->cos 0º=1/1=1
Como tg B=y/x----->tg 0º=0/1=0
En 90º;
sen 90º=1/1=1
cos 90º=0/1=0tg 90º=1/0=∄
En 180º;
sen 180º=0/1=0
cos 180º=-1/1=-1
tg 180º=o/-1=0
En 270º;
sen 270º=-1/1=-1
cos 270º=0/1=0
tg 270º=-1/0=∄
En 360º;
sen 360º=0/1=0
cos 360º=1/1=1
tg 360º=0/1=0
Bien, con esto, ya tenéis las razones trigonométricas de 0º,30º,45º,60º,90º,180º,270º y 360º.
Pero... ¿y el resto de ángulos?¿Cómo hallamos sus razones trigonométricas?
Para eso, tenemos que adentrarnos en el apartado de RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA.
Veréis, existen 4 tipos de ángulos:
-Suplementarios: Son aquellos que suman 180º. (A+B)=180º
-Ángulos que difieren en 180º: Su diferencia da 180º. (A-B)=180º
-Ángulos opuestos: Son aquellos que suman 360º. (A+B)=360º
-Complementarios: Son aquellos que suman 90º. (Estos no los voy a explicar mucho).
(A+B)=90º.
Ahora, pues, tenemos que hallar las fórmulas para determinar las razones trigonométricas de cualquier ángulo:
-Respecto a los ángulos suplementarios;
Observa la siguiente circunferencia:
Si sacamos las razones trigonométricas de alfa y beta:
sen alfa=y/1=y---- sen beta=y/1=y
cos alfa=x/1=x---- cos beta=-x/1=-x
tg alfa=y/x---- tg beta=y/-x=-(y/x)
Deducimos que:
sen alfa=sen beta
cos alfa=-cos beta
tg alfa=-tg beta
-Respecto a los ángulos que difieren en 180º;
Razones trigonométricas:
sen alfa=y/1=y---- sen beta=-y(y')/1=-y
cos alfa=x/1=x---- cos beta=-x(x')/1=-x
tg alfa=y/x---- tg alfa=-y/-x=y/x
Y deducimos que:
sen alfa=-sen beta
cos alfa=-cos beta
tg alfa=tg beta
-Respecto a los ángulos opuestos:
Sacamos razones trigonométricas:
sen alfa= y/1=y---- sen beta=-y/1=-y
cos alfa=x/1=x---- cos beta=x/1=x
tg alfa=y/x--- tg beta=-y/x=-(y/x)
Y obtenemos lo siguiente;
Dado que beta=-alfa, lo siguiente se designa por:
sen (-alfa)=-sen alfa
cos (-alfa)=cos alfa
tg (-alfa)=tg alfa
De los ángulos complementarios, ya os diré algo. De momento, os dejo la siguiente igualdad complementaria:
sen alfa=cos beta
Pensad de donde ha podido salir esta igualdad.
Con todo esto que os escrito, podréis hallar la razón trigonométrica de un ángulo CUALQUIERA.
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Pero aquí no se acaba el tema.
En trigonometría, muchas veces surgen ejercicios como éste:
sen A=4/3
Es decir, nos dan la razón trigonométrica, pero no el ángulo, dentro de un determinado cuadrante. Pero, sin ángulos...¿cómo hallamos las razones trigonométricas de un ángulo A?
Es más sencillo de lo que imagináis. Existen 2 relaciones o fórmulas que os van a ayudar,aunque necesito demostrarlas (de dónde salen).
1-IGUALDAD FUNDAMENTAL DE LA TRIGONOMETRÍA
1.1 RELACIÓN ENTRE EL SENO Y EL COSENO
Volvemos a nuestra circunferencia goniométrica. Ya sabemos el triángulo que se forma, si dibujamos un radio diagonal de valor 1 u. Pero... ¿a qué viene todo esto?
También sabíamos el Y era el seno, y X el coseno. Si tenemos un triángulo rectángulo, y sabemos lo que vale cada lado, podemos aplicar el Teorema de Pitágoras.
Si aplicamos teorema al triángulo rectángulo, obtendremos:
sen² A + cos² A=1
Esa es la IGUALDAD FUNDAMENTAL DE LA TRIGONOMETRÍA
2-Relación entre la secante y la tangente
Comenzamos poniendo lo que es la secante:
Si lo resumimos en forma de fórmula:
sec² A=1/cos² A=tg² A + 1
Todo lo anterior corresponde al apartado de IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS.
Ejercicio I: Sabiendo que sen x=5/3, halla el resto de razones trigonométricas, sabiendo que x se encuentra en el primer cuadrante (entre 0º y 90º). Bien, sólo me falta una cosa de explicar aparte (no tiene que ver con las identidades trigonométricas). Como antes, nos pueden dar una razón trigonométrica, pero sin el ángulo con el que realizamos. Si queréis sacar el ángulo de una razón trigonométrica, sólo tenéis que saber una cosa: -Para sacar los ángulos, tenéis que utilizar las funciones u operaciones "arco"(de un número cualquiera),es decir: -Arcoseno. Simbolizado por arcsen n. -Arcocoseno. Simbolizado por arccos n -Arcotangente. Simbolizado por arctg n. Donde n es un número y n ∈ R. Ejemplo I: Si sen A=1/2, ¿cuándo vale A? sen A=1/2 ----> arcsen 1/2=30º Ejemplo II: Si tg B=Raíz cuadrada de 3 ¿cuánto vale B? tg B=√3 ----> arctg √3=60º Hasta aquí todo lo que sé sobre Trigonometría. Ya os enseñare sus funciones, pero recordad que teméis sus características en el Apartado I: Funciones. La trigonometría es una cosa útil en las matemáticas, especialmente en el campo de la Geometría. Es que, con trigonometría, se puede hallar gran cantidad de cosas, como la altura de un globo, de un pilar, etc. Si os habéis leído bien el Apartado IX, habréis aprendido un montón de trigonometría, aunque todavía hay más razones que ya os diré, como el verseno (versin), exsecante (exsec). El próximo blog que publique será de vectores, uno de los temas que más me gusta, encerrado en el campo de la Geometría Analítica. Los vectores serán representados en el PLANO. En 2º de bachillerato, se empiezan a utilizar vectores en el ESPACIO.
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