Apartado X: Vectores

Puede que sea la primera vez que oís hablar de los vectores (o puede que ya lo sepáis), y por eso, os voy a decir su definición:

Un vector es un segmento orientado que tiene su origen en un punto determinado y su extremo, en otro punto distinto. Podemos llamar al punto de origen A y al extremo B. Un vector tiene forma de flecha.

Como podéis observar, las letras que designan a un vector cualquiera siempre llevan flechas superpuestas.

Características de los vectores:

Poseen:

-Módulo: Es su valor numérico.

-Dirección: Es la recta que contiene al vector.

-Sentido: Es hacia donde está orientado el vector.

-Punto de aplicación: Es el punto del que parte el vector (Esta propiedad se utiliza más en Física).

Ya veréis que el vector nulo se escribe mediante un cero y una flecha superpuesta: 0(-->)

Propiedades de los vectores:

-Dos vectores son equipolentes si su módulo, dirección y sentido son iguales.

-Todos los vectores equipolentes entre sí constituyen un único vector, llamado vector libre.

-El conjunto de todos los vectores libres se designa mediante V².

OPERACIONES CON VECTORES

No solo son segmentos planos o espaciales. Con ellos, podemos, además, realizar operaciones sencillas, como sumas, restas y productos.

SUMA VECTORIAL

Imaginad que tenemos 2 vectores, A y B. Si queremos efectúar su suma, debemos realizar lo siguiente:

-En primer lugar, "ordenamos" los vectores, haciendo coincidir el extremo del primero con el origen del segundo.

-2º: Se traza un vector suma que abarque desde el origen de A hasta el extremo de B.

La imagen inferior os lo explica de forma ilustrada, donde A y B son los vectores sumandos, y C el vector suma. C= A + B

RESTA DE VECTORES

Al igual que sumamos, también podemos restar vectores. Realizamos lo siguiente:

-Si queremos restar vectores, la mayoria de las veces ambos nos van a salir del origen, así que esto es fácil.

-Al restar, debemos dibujar un vector que vaya desde el extremo del primero hasta el extremo del segundo. La ilustración os lo explica mejor.

PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

Un escalar es un número cualquiera. Si al vector lo multiplicamos por un escalar, estaremos también multiplicando su módulo. Imaginad, como en la imagen de abajo, el vector A. Véis que si le multiplicamos por 2, nos queda 2A, además de duplicar su longitud (módulo). El vector verde o 3A triplica la longitud del vector A.

VECTOR DE POSICIÓN

Es aquel que parte del origen de coordenadas y llega hasta un determinado punto en el plano.

SUMA Y RESTA DE VECTORES (trabajando con unitarios, de módulo 1).

Imaginad que tenemos estos dos vectores---> (2i + 3j) y le sumamos (5i + j):

(2i + 3j) + (5i + j) = i(2+5) + j(3+1) = (7i + 4j)

¿Y si los queremos restar? Pues hacemos lo siguiente:

(2i + 3j) - (5i + j) = i(2-5) + j(3-1) = (-3i + 2j)

PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN ESCALAR

Basta con multiplicar las coordenadas cualesquiera de un vector por un número:

Ej: v=(2,3) ----> 4(2,3) = (8,12)

VECTOR DETERMINADO POR DOS PUNTOS

Ahora quiero que penséis lo siguiente: Tenemos dos vectores, como el a y b de abajo. Pero queremos unirlos mediante un vector que vaya desde b hasta a. Como vimos anteriormente, ese vector será un vector diferencia, d. Con lo que, si llamamos al extremo del vector b "B", y al extremo del vector a "A", podremos formar el vector BA, pero como hablamos de vector diferencia, el vector BA = A - B. Así obtendríamos las coordenadas del vector BA, ya que el vector d es igual al vector a menos el vector b.

MÓDULO DE UN VECTOR Y DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS

Un vector es un segmento que también posee un módulo, es decir, un determinado valor, expresado en unidades (u). El módulo de un vector siempre va a ser un número.

¿Cómo se calcula el módulo de un vector?

Por ejemplo, vamos a observar el dibujo que tenéis abajo. Un vector, en un plano, siempre tiene coordenadas, que indican su desplazamiento y su subida o bajada. Si trasladamos esas coordenadas de desplazamiento y altura, podemos ver que formamos un triángulo rectángulo con el vector. Y si tenemos dos catetos (coordenadas) y una hipotenusa (vectorr), podemos aplicar el teorema de Pitágoras, despejando la hipotenusa y hallando su valor. Recordad que el vector coloreado en rojo corresponde a la hipotenusa del triángulo rectángulo formado.

Fórmula para hallar el módulo:

La letra(s) con la(s) que se designa al vector debe ponerse entre barras verticales, como el valor absoluto.

La distancia entre dos puntos consiste en calcular la distancia que existe entre dos puntos en el plano cartesiano a traves de vectores. Si un vector, AB = B - A, al hallar la distancia tendremos que restar las coordenadas de B a las coordenadas de A.

La fórmula es diferente, pero da el mismo resultado que el módulo de un vector.

Demostración en el plano para hallar el módulo de un vector. ↑


PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO

Tenemos un segmento, que va desde el punto A hasta el punto B, y queremos hallar su punto medio. Pero, ¿cómo lo hacemos?

Se aplica la siguiente fórmula, para hallar dicho punto medio.
La demostración... ya os la enseñare.

CÁLCULO DE LAS COORDENADAS DE UN PARALELOGRAMO

Esto es sencillísimo. Imaginad que tenemos 4 puntos, A,B,C y D. Cada uno tiene unas determinadas coordenadas conocidas, pero no sabemos las de D. ¿Cómo las hallamos?

Muy fácil :). Sólo tenemos que componer un par de vectores equipolentes y luego operamos.

Pensad que un vector puede ser AB, por ejemplo, y otro CD. Comprobamos que son equipolentes entre sí, y establecemos la siguiente igualdad:

AB = CD

Despejando D:

B - A = D - C --> D= C + B - A

Sabemos que podemos obtener ese punto al sumar C y B y al restar A.

CONDICIÓN DE ALINEACIÓN DE 3 PUNTOS

Si nos dan 3 puntos del plano cartesiano, ¿cómo sabemos si están alineados y forman un segmento?

Pues debemos realizar lo siguiente:

1-Suponed que tenemos 3 puntos, A, B y C. Para saber si están alineados, podemos hallar los vectores AB y AC, ya que este último engloba al vector AB [ya lo veréis cuando haga la demostración ;)]. Si tenemos las coordenadas de los vectores, debemos comprobar si son proporcionales mediante la siguiente fórmula: Si al multiplicar en cruz, el resultado es igual, los 3 puntos están alinedos.

Ahora vamos a entrar en un subapartado que le voy a llamar así:

Subapartado I: Estudio de la recta

Ya que estamos en una entrada de Geometría, podemos utilizar los vectores para estudiar las rectas en el plano.

Para ello, tenemos que saber las ecuaciones de la recta. Son las siguientes:

1-Ecuación vectorial de la recta.

2-Ecuaciones paramétricas.

3-Ecuación continua.

4-Ecuación general o implícilta.

5-Ecuación explícita.

6-Ecuación punto-pendiente.

Hablaremos también del concepto de pendiente, y finalizaremos con rectas paralelas y secantes, y haz de rectas secantes.

1-ECUACIÓN VECTORIAL.

Tenemos una recta cualquiera en el plano. Tomamos dos puntos de la recta, A, con coordenadas (a1,a2) y X, con coordenadas (x,y). Definimos un trozo de ella con un vector director (v, vector que guía la recta), pero multiplicando a un número λ* (parámetro de la ecuación), ya que el vector, por si solo, no llega al punto X.

*λ: Letra griega llamada lambda. En matemáticas, designa al parámetro de la ecuación vectorial. En física, representa la longitud de onda.

-Más tarde, podemos plantear una suma vectorial, que incluya a la recta. Para ello, trazamos un vector que salga desde el origen, O, hasta el punto A, y otro vector, desde el origen hasta el punto X. Esta relación recibe el nombre de ecuación vectorial de la recta, que matemáticamente expresado, querría decir lo siguiente:

Esto corresponde a lo siguiente ----> (x,y) = (a1,a2) + lambda(v1,v2)

2-ECUACIONES PARAMÉTRICAS.

Si tenemos una ecuación vectorial, podemos hacer una igualdad con x e y, describiendo, en este caso, 2 ecuaciones paramétricas.

El número λ sigue siendo el parámetro de la ecuación. En ambos tipos de ecuaciones:

λ ∈ R

3-ECUACIÓN CONTINUA.

Con las paramétricas presente, podemos despejar λ en ambas, y como lambda es igual a lambda, se cumple lo siguiente:

Al ver que las letras griegas son iguales, sus expresiones también.


4-ECUACIÓN GENERAL O IMPLÍCITA

Al multiplicar en cruz los componentes de la ecuación continua, se obtiene lo siguiente (ya os pondré de dónde sale):

5-ECUACIÓN EXPLÍCITA

Si en la ecuación implícita despejamos "y", obtenemos la ecuación de la recta más usada: la explícita.

6-ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE

-No obstante, siempre podemos hallar otra ecuación, partiendo de la ec. continua y dividiendo v2 entre v1 (coordenadas del vector director) obteniendo una pendiente (ahora lo véis con más profundidad), y la siguiente ecuación:

PENDIENTE

La pendiente, palabra muy conocida, es definida así por el diccionario clave: Declive o grado de inclinación. Efectivamente, la acepción es correcta. La pendiente en un plano nos demuestra ese grado de inclinación o declinación de una recta. En matemáticas, existen varias formas de hallarla, estando entre ellas el famoso cociente entre el incremento de "y" y el incremento de "x", además de la aplicación de la tangente...Ejercicio I: Dibuja la gráfica 2x, y determina la pendiente por los tres métodos indicados.

RECTAS PARALELAS Y SECANTES

Aquí no hay mucho que decir. Sólo las condiciones necesarias para que dos rectas sean paralelas o secantes:

-Dos rectas son paralelas si las coordenadas de sus vectores directores son proporcionales.

-Dos rectas son secantes si las coordenadas de sus vectores directores no son proporcionales.

-Si dos rectas tienen la misma pendiente, son paralelas.

-Si dos rectas no tienen la misma pendiente, son secantes.

¡Ojo! Si tenemos dos rectas con pendiente de idéntico número pero distinto signo, son secantes.

HAZ DE RECTAS SECANTES

Un haz de algo es un sitio por el que pasan o del que salen muchas figuras. Precisamente, el haz de rectas secantes consiste en un punto por el que pasan todas las rectas secantes que se corten en ese punto. La ecuación para la determinación del haz de rectas secantes es:

Con m ∈ R

Definición: Llamamos haz de rectas secantes al conjunto de todas las rectas del plano que pasan por un determinado punto, ya sea A, B, C, etc...

Hasta aquí os puedo decir todo lo que sé sobre vectores en el plano. Recordad que esta entrada pertenece a la rama matemática de la Geometría Analítica. Esta Geometría Analítica es en el plano (2 dimensiones), pero en 2º de bachillerato, se da Geometría Analítica en el espacio (3 dimensiones). En fin, que si tenéis alguna duda, dejadme un comentario, y yo os la resolveré :)

Apartado IX: Trigonometría

¿Os acordáis del teorema de Tales?

"Los segmentos determinados al cortar dos rectas secantes por una serie de rectas paralelas son proporcionales entre sí".

Si nos fijamos detenidamente, un triángulo rectángulo tiene mucho que contar (aquel que contiene un ángulo de 90º). Pero antes, os dejo la unidad para medir ángulos:


º: Grado sexagesimal: Es la noventaava parte de un ángulo recto.

Rad: Radián: Es el ángulo determinado por un arco de circunferencia cuya longitud es igual al radio.

Ahora, bien, hablando ya de triángulos rectángulos:

Si os habéis fijado, un triángulo consta de tres ángulos y 3 lados. No obstante, si reconocemos el teorema de Tales, y lo aplicamos a este triángulo rectángulo, podemos obtener una serie de cocientes que nos pueden ser útiles respecto a un ángulo determinado de este polígono. Damos lugar a las razones trigonométricas.

Una razón trigonométrica es aquel cociente establecido entre dos lados de un triángulo rectángulo, generalmente, respecto a un ángulo agudo.

Aunque no lo parezca, la trigonometría es útil en el campo de la construcción. Esto es, porque permite hallar alturas (ya veréis un problema en el que aplicaréis esto), como pilares para sustentar puentes, o sitios inalcanzables, así como la anchura de un río cualquiera. De momento, vamos a dejar esto para el final, y atendemos ahora a las principales razones trigonométricas:
Principales razones trigonométricas:

Seno de alfa. Se representa mediante sen a(en realidad es la letra griega alfa) y se define como el cociente entre el cateto opuesto al ángulo a y la hipotenusa.

sen a=b/a

-Coseno de alfa. Se representa mediante cos a y se define como el cociente entre el cateto contiguo al ángulo alfa y la hipotenusa.

cos a=c/a

-Tangente de alfa. Se representa mediante tg a y se define como el cociente entre el cateto opuesto y el cateto contiguo al ángulo alfa.

tg a=b/c

Estas eran las principales. A partir de éstas, se pueden definir también sus razones trigonométricas inversas, como:

-Cosecante de alfa. Se representa mediante cosec a y se define como el cociente entre la hipotenusa y el cateto opuesto al ángulo alfa, así como dividir 1 entre sen a.

cosec a=a/b=1/sen a

-Secante de alfa. Se representa mediante sec a y se define como el cociente entre la hipotenusa y el cateto contiguo al ángulo alfa, así como dividir 1 entre cos a.

sec a=a/c=1/cos a

-Cotangente de alfa. Se representa mediante cotg a y se define como el cociente entre el cateto contiguo y el cateto opuesto al ángulo alfa, así como dividir 1 entre tg a.

cotg a=c/b=1/tg a

Existen más razones trigonométricas, que ya os iré diciendo según avanzemos en la entrada.

Como todo, las razones triogonométricas tienen propiedades:

-El seno y el coseno siempre adoptan valores entre 0 y 1.

-La tangente se puede establecer como el cociente entre el seno y el coseno de alfa.

tg a= sen a/cos a

-Existe una tercera propiedad, que os diré más tarde.

Bien, ya conocemos el concepto de razón trigonométrica, sus tipos y propiedades. Pero, si tenemos distintos tipos de ángulos...¿cuáles son en realidad?

Para determinar las razones trigonométricas de ciertos ángulos, se llevan a cabo ciertos métodos que incluyan su resolución.

Empezaremos con hallar las razones trigonométricas de los ángulos de 30º, 45º y 60º.

1. Para hallar las razones trigonométricas de 30º y 60º, nos hace falta disponer de un triángulo equilátero de lado 1 unidad (1 u). Ya sabéis que todos los ángulos de un triángulo deben sumar 180º. En un equilátero, estos ángulos se reparten en tres de 60º. Al dividir a la mitad el triángulo equilátero, nos quedan dos triángulos rectángulos, con un ángulo de 90º, 60º y 30º cada uno. Posteriormente, se halla la altura del triángulo dividido, por el teorema de Pitágoras*.

*Teorema de Pitágoras: Enunciado que dice que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Posteriormente, aplicamos los cocientes de las razones trigonométricas del seno, coseno y tangente.

2. Para hallar las razones trigonométricas de 45º, tenemos que tener a mano un cuadrado de lado 1 unidad. La suma de los ángulos de un cuadrilátero da 360º, por lo que en un cuadrado, tenemos 4 ángulos de 90º cada uno. Si dividimos al cuadrado con una diagonal, habremos dividido 2 de sus ángulos de 90º en 4 ángulos de 45º. Ahora bien...¿cuánto vale la diagonal?

Respuesta: Aplicamos el teorema de Pitágoras

Valor diagonal: (Raíz cuadrada de 2) u

Por último, realizamos el sen,cos y tg de 45º.

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ÁNGULOS OPUESTOS

No todos los ángulos que se pueden formar son positivos. Por ejemplo, imaginad una circunferencia dividida en 4 cuadreantes (luego veréis la circunferencia goniométrica).

Podemos formar un ángulo de 45º positivo, o bien, formar un ángulo de -45º, llamándose ángulo opuesto. Eso sí, siempre hay que saber lo siguiente:

-45º -----> 315 º

Y así, con todos los ángulos opuestos.


CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA


La circunferencia goniométrica es aquella en la que podemos trabajar con ángulos y con trigonometría. En ella aparecen los ejes de coordenadas, dividiendo a la circunferencia en 4 cuadrantes (partes iguales en las que se encuentra dividida la circunferencia).


Hasta aquí bien, pero os preguntaréis lo siguiente...¿Qué podemos observar de trigonometría en una circunferencia?

La respuesta es muy sencilla. Veréis, el primer paso es trazar un radio de 1 unidad (sabéis que radio es la línea que une el centro de la circunferencia con cualquier punto). Supongamos, que trazamos el radio en el primer cuadrante (0º-90º). Y, si ya tenemos un radio... podemos dibujar una línea vertical desde el extremo del radio hasta el eje X (punto coincidente con la recta). Si os habéis fijado, hemos dibujado un triángulo rectángulo. Como sabemos los valores de cada lado (radio: 1; eje X: x; línea vertical: y [dado a que coincide con el semieje OY positivo]) podemos averiguar las razones trigonométricas de ese triángulo rectángulo en una circunferencia. Llamemos al ángulo B.

sen B=y/1=y

cos B=x/1=x

tg B=y/x

Por esto, deducimos que:

-El seno en la circunferencia goniométrica siempre es el eje Y.

-El coseno en la circunferencia goniométrica siempre es el eje X.

-La tangente se denota por y/x.


Ahora, calculad vosotros cuánto vale la cosecante, la secante y la cotangente en la circunferencia goniométrica.


SIGNOS DEL SENO, COSENO Y TANGENTE

Razones trigonométricas de los ángulos de 0º,90º,180º,270º,360º.

Suponed que tenemos una circunferencia como la de arriba. Si desde el centro, cada "radio" de ejes de cordenadas vale 1 u, podemos establecer lo siguiente:

0º; Coordenadas (1,0)

90º; Coordenadas (0,1)

180º; Coordenadas (-1,0)

270º; Coordenadas (0,-1)

360º; Coordenadas (1,0)= Igual que 0º.


A partir de estas coordenadas, deducimos lo siguiente:

En 0º;

Como sen B=y/1=y---> sen 0º=0/1= 0

Como cos B=x/1=x---->cos 0º=1/1=1

Como tg B=y/x----->tg 0º=0/1=0

En 90º;

sen 90º=1/1=1

cos 90º=0/1=0

tg 90º=1/0=∄


En 180º;

sen 180º=0/1=0

cos 180º=-1/1=-1

tg 180º=o/-1=0


En 270º;

sen 270º=-1/1=-1

cos 270º=0/1=0

tg 270º=-1/0=∄


En 360º;

sen 360º=0/1=0

cos 360º=1/1=1

tg 360º=0/1=0


Bien, con esto, ya tenéis las razones trigonométricas de 0º,30º,45º,60º,90º,180º,270º y 360º.

Pero... ¿y el resto de ángulos?¿Cómo hallamos sus razones trigonométricas?


Para eso, tenemos que adentrarnos en el apartado de RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA.

Veréis, existen 4 tipos de ángulos:

-Suplementarios: Son aquellos que suman 180º. (A+B)=180º

-Ángulos que difieren en 180º: Su diferencia da 180º. (A-B)=180º

-Ángulos opuestos: Son aquellos que suman 360º. (A+B)=360º

-Complementarios: Son aquellos que suman 90º. (Estos no los voy a explicar mucho).

(A+B)=90º.


Ahora, pues, tenemos que hallar las fórmulas para determinar las razones trigonométricas de cualquier ángulo:

-Respecto a los ángulos suplementarios;

Observa la siguiente circunferencia:

Si sacamos las razones trigonométricas de alfa y beta:

sen alfa=y/1=y---- sen beta=y/1=y

cos alfa=x/1=x---- cos beta=-x/1=-x

tg alfa=y/x---- tg beta=y/-x=-(y/x)


Deducimos que:

sen alfa=sen beta

cos alfa=-cos beta

tg alfa=-tg beta


-Respecto a los ángulos que difieren en 180º;

Razones trigonométricas:

sen alfa=y/1=y---- sen beta=-y(y')/1=-y

cos alfa=x/1=x---- cos beta=-x(x')/1=-x

tg alfa=y/x---- tg alfa=-y/-x=y/x

Y deducimos que:

sen alfa=-sen beta

cos alfa=-cos beta

tg alfa=tg beta

-Respecto a los ángulos opuestos:

Sacamos razones trigonométricas:

sen alfa= y/1=y---- sen beta=-y/1=-y

cos alfa=x/1=x---- cos beta=x/1=x

tg alfa=y/x--- tg beta=-y/x=-(y/x)

Y obtenemos lo siguiente;

Dado que beta=-alfa, lo siguiente se designa por:

sen (-alfa)=-sen alfa

cos (-alfa)=cos alfa

tg (-alfa)=tg alfa

De los ángulos complementarios, ya os diré algo. De momento, os dejo la siguiente igualdad complementaria:

sen alfa=cos beta

Pensad de donde ha podido salir esta igualdad.

Con todo esto que os escrito, podréis hallar la razón trigonométrica de un ángulo CUALQUIERA.

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Pero aquí no se acaba el tema.

En trigonometría, muchas veces surgen ejercicios como éste:

sen A=4/3

Es decir, nos dan la razón trigonométrica, pero no el ángulo, dentro de un determinado cuadrante. Pero, sin ángulos...¿cómo hallamos las razones trigonométricas de un ángulo A?

Es más sencillo de lo que imagináis. Existen 2 relaciones o fórmulas que os van a ayudar,aunque necesito demostrarlas (de dónde salen).

1-IGUALDAD FUNDAMENTAL DE LA TRIGONOMETRÍA

1.1 RELACIÓN ENTRE EL SENO Y EL COSENO

Volvemos a nuestra circunferencia goniométrica. Ya sabemos el triángulo que se forma, si dibujamos un radio diagonal de valor 1 u. Pero... ¿a qué viene todo esto?

También sabíamos el Y era el seno, y X el coseno. Si tenemos un triángulo rectángulo, y sabemos lo que vale cada lado, podemos aplicar el Teorema de Pitágoras.

Si aplicamos teorema al triángulo rectángulo, obtendremos:

sen² A + cos² A=1

Esa es la IGUALDAD FUNDAMENTAL DE LA TRIGONOMETRÍA

2-Relación entre la secante y la tangente

Comenzamos poniendo lo que es la secante:

Si lo resumimos en forma de fórmula:

sec² A=1/cos² A=tg² A + 1

Todo lo anterior corresponde al apartado de IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS.

Ejercicio I: Sabiendo que sen x=5/3, halla el resto de razones trigonométricas, sabiendo que x se encuentra en el primer cuadrante (entre 0º y 90º).

Bien, sólo me falta una cosa de explicar aparte (no tiene que ver con las identidades trigonométricas).

Como antes, nos pueden dar una razón trigonométrica, pero sin el ángulo con el que realizamos. Si queréis sacar el ángulo de una razón trigonométrica, sólo tenéis que saber una cosa:

-Para sacar los ángulos, tenéis que utilizar las funciones u operaciones "arco"(de un número cualquiera),es decir:

-Arcoseno. Simbolizado por arcsen n.

-Arcocoseno. Simbolizado por arccos n

-Arcotangente. Simbolizado por arctg n.

Donde n es un número y n ∈ R.

Ejemplo I: Si sen A=1/2, ¿cuándo vale A?

sen A=1/2 ----> arcsen 1/2=30º

Ejemplo II: Si tg B=Raíz cuadrada de 3 ¿cuánto vale B?

tg B=√3 ----> arctg √3=60º

Hasta aquí todo lo que sé sobre Trigonometría. Ya os enseñare sus funciones, pero recordad que teméis sus características en el Apartado I: Funciones. La trigonometría es una cosa útil en las matemáticas, especialmente en el campo de la Geometría. Es que, con trigonometría, se puede hallar gran cantidad de cosas, como la altura de un globo, de un pilar, etc. Si os habéis leído bien el Apartado IX, habréis aprendido un montón de trigonometría, aunque todavía hay más razones que ya os diré, como el verseno (versin), exsecante (exsec). El próximo blog que publique será de vectores, uno de los temas que más me gusta, encerrado en el campo de la Geometría Analítica. Los vectores serán representados en el PLANO. En 2º de bachillerato, se empiezan a utilizar vectores en el ESPACIO.

Apartado de Propiedades I: Propiedades radicales

Esta es una entrada destinada únicamente a las propiedades de los radicales, aunque no duraré en poner demostraciones de todas ellas, así como una ampliación extra de todos sus conceptos:

Como en el Apartado VII, recordamos los elementos radicales:
Acordaros de que los radicales nos permiten hallar la base de una potencia en una ecuación.

Las raíces pueden pueden ser de 2 tipos:


-Raíces enésimas de índice par. No hay mucho que contar, ya que comprende a todas las raíces que tenga por índice 2,4,6,8 ... Su radicando siempre es positivo. Si habéis dado números complejos (C), podéis hallar un radical de radicando negativo, gracias a la unidad imaginaria, i=raíz cuadrada de -1.
-Raíces enésimas de índice impar. Estas tienen por índice 3,5,7,9 ... Su radicando puede ser tanto positivo como negativo. Esto es: (-2)³-->-8.

Al hacer la raíz cúbica de -8, su solución es -2.

A continuación, PROPIEDADES:

*1ª: Multiplicación y división de radicales del mismo índice.

-Para multiplicar o dividir radicales con idéntico índice, se multiplican o se dividen sus radicandos y se deja el mismo índice:*2ª: Multiplicación y división de radicales con distinto índice.

-Para multiplicar o dividir radicales con distinto índice, es necesario necesario realizar los siguientes pasos:

*Por cierto, esta operación se suele realizar en radicales con radicandos exponenciales.

1º Paso: Reducimos los índices a común denominador.

2º Paso: Dividimos el nuevo índice entre el viejo índice, y el valor, resultado de efectúar el cociente, se multiplica por el exponente del radicando.

3º Paso: Aplicamos la Primera Propiedad de los Radicales.

Por si no lo véis bien, en el Ejemplo I, el índice común es 18.


*3ª: Potencia de un radical.

Si tenemos un radical, todo ello elevado a un único número, ese número pasa a formar parte del exponente del radicando:

*4ª: Raíz de una raíz, producto de índices.

Si tenemos un radical metido dentro de otro, no dudaremos en multiplicar sus índices.

*5ª: Introducción y extracción de factores en un radical.

-Introducción: Basta con elevar al índice el factor exterior del radical, e introducirlo.

-Extracción: Para realizar esta operación hay que hacer lo siguiente:

1. Si tenemos un número natural, lo descomponemos en factores primos.

2.Puede que alguno de esos factores sea potencial. Si es así, hay que comprobar que su exponente coincide con el índice del radical.

3. Efectúamos la extracción de dicho factor.

*6ª: Radicales equivalentes.

Son aquellos en los que el índice y el exponente del radicando son proporcionales.

-Podemos obtener radicales equilvalentes a través de dos métodos:

-Amplificación: Se multiplica al índice y al exponente por un mismo número.

-Simplificación: Se divide al índice y al exponente por un mismo número.

Anotación: Aunque haya puesto las letras "p" y "q", ambas designan a un mismo número.

Ya sabéis, si tenéis alguna duda, me lo decís.

Apartado VIII: Inecuaciones

Todos sabemos lo que es una ecuación (igualdad entre dos expresiones algebraicas, condicionadas por los coeficientes de las incógnitas). Pues una inecuación es justamente lo contrario: una desigualdad.

En Inecuaciones, no se utiliza el signo "=" (igual), sino que hablamos de:

>:Mayor
<:Menor
≥:Mayor o igual
≤:Menor o igual

Propiedades.

*Si se cambia la posición numérica, el signo cambia de sentido:

3<6---------->6>3

*Al sumar o restar en un miembro, la igualdad se queda como está:

x + 1 > 2 ------------> x > 1

*Al multiplicar o dividir en ambos miembros por un número negativo, el sentido de la desigualdad se cambia:

(-2x) > 4----> 2x < -4 --> x < -2

(-3x) es menor que doce --> 3x >-12 ---> x > -4

Las inecuaciones os pueden ser útiles en el campo de la Economía.

¿Cómo se resuelve una inecuación?

Pues igual que las ecuaciones, sólo que al final hay que representar el conjunto solución (valores aceptables de x).

Ejemplo I: Calcula la inecuación 3x + 1 > 5 +2x

Paso 1. 3x + 1 > 5 + 2x

Paso 2. 3x - 2x > 5 - 1

Paso 3. x > 4

PASO 4. x ∈ (4, ∞)

Al ser el signo "mayor", el 4 no se coge, y se pone paréntesis. En caso de mayor o igual, se ponen corchetes [4, ...]

RESOLUCIÓN DE INECUACIONES CUADRÁTICAS (SEGUNDO GRADO)

Para resolver una inecuación cuadrática o de segundo grado, es necesario conocer la fórmula para esta ecuación. Esto es, porque, necesitamos descomponer la expresión cuadrática en factores, y después, debemos estudiar sus signos.

A continuación, os dejo un ejemplo con la inecuación x² + 3x + 2 > 0

Próximamente: Sistemas de dos y de tres inecuaciones.

Apartado VII: Descomposición factorial de un polinomio y Regla de Ruffini

Sabéis que un polinomio es un conjunto de monomios que presenta, generalmente, un grado mayor que 1.

Ejemplo I: P(x): 3x³ + 2x² -5x+9

El polinomio es de grado 3 (es el mayor). 9 es el término independiente, ya que no tiene incógnitas.

Recordad que el grado de un monomio era la suma de los exponentes de sus variables:

3x²y-->Grado 3.

Una vez explicado el término polinomio:

Un polinomio siempre nos aparece en forma de un conjunto de monomios que se suman o se restan. Pero, ¿podemos convertirlo en un producto de factores, es decir, descomponerlo factorialmente?

La respuesta es SÍ.

Gracias a unos métodos muy sencillos que os voy a decir ahora, se puede descomponer fácilmente un polinomio en un producto o multiplicación de factores.

Vamos a manejar el polinomio P(x)=3x³ + 2x²-9x+4

1. Buscamos divisores del término independiente;

+1,-1,+2,-2,+4,-4

Igualamos el polinomio a 0, y sustituimos los divisores en la expresión. Si al sustituir un divisor, el polinomio nos da 0, debemos realizar la Regla de Ruffini que mostraré posteriormente. Digamos que es el primer paso para descomponer un polinomio.

3x³ + 2x² -9x + 4=0

-Sustituimos:

P(1)=3(1)³ + 2(1)² - 9(1) + 6 ↔ 3+2-9+4 = 0


Aplicamos la Regla de Ruffini

A partir de este algoritmo, obtenemos un nuevo polinomio:

P(x)=3x² + 5x - 4

Seguimos descomponiendo.

1.Buscamos divisores del nuevo término independiente;

4-->+1,-1,+2,-2,+4,-4

2-Sustituimos;

P(1)= 3(1)² + 5 (1) - 4 ---> 3+5-4 ≠ 0

P(-1)= 3(-1)² + 5(-1) - 4 ---> 3 - 5 -4 ≠ 0

P(2)= 3(2)² + 5(2) - 4= 12 + 10 - 4 ≠ 0

P(-2)=3 (-2)² + 5(-2) -4 ----> 12-10-4 ≠ 0

P(4)= 3(4)² + 5(4) - 4 ---> 48+20 -4 ≠ 0

P(-4)= 3(-4)² + 5(-4) - 4 ----> 48-20-4 ≠ 0

Al no haber más divisores, el polinomio no se puede descomponer más: Es irreducible.

Su descomposición factorial sería:

P(x)=(x-1)(3x² + 5x - 4)

Ya os pondré otro ejemplo en el que salgan más factores.

Aunque también podemos descubrir si el segundo polinomio tiene raíces, aplicando la fórmula para resolver ecuaciones de 2º grado.
Más tarde, os explicaré el teorema del Resto, muy sencillo, con ayuda de una regla de Ruffini.

Apartado VI: Potencias, raíces y logaritmos

Hola a todos de nuevo. Escribo esta entrada con una sencilla razón: ayudar a aquellas personas que tengan dificultad con estas operaciones matemáticas. Ahora, doy paso a la entrada.

POTENCIAS

Recordad que una pontencia consiste en un número cualquiera, llamado base, que está elevado a otro número, llamado exponente, obteniendo así su resultado.

Mecanismo para realizar potencias de exponente positivo(si n > 0):

Como podeis ver, una potencia consiste en un producto del mismo factor, tantas veces como indique el exponente.

Mecanismo para realizar potencias de exponente negativo(donde a es distinto de 0).ipos de potencias que hay, nos vamos a sus propiedades:

*Si se multiplican o se dividen potencias del mismo exponente, se deja este, y se multiplican o dividen sus bases:

*Si se multiplican o se dividen potencias de la misma base, se deja la misma base y se suman o se restan los exponentes:

*"Potencia de una potencia, producto de exponentes". Si tenemos una potencia encerrada en un paréntesis con un exponente, el exponente de la potencia y el del paréntesis se multiplican.

RADICALES

De siempre os habréis preguntado para que sirven los radicales en matemáticas. Pues es una razón muy sencilla.

Imaginad que nos dan x²=4, y no sabemos la base. ¿Qué hacemos?

Es muy fácil. El 2 que cumple la función de exponente, pasa al segundo miembro (4) en forma de raíz cuadrada, ya que el número es 2. Si fuera 3, sería raíz cúbica.

Ejemplo I: Calcula la base de la ecuación x²=4

Para eso sirven los radicales: para hallar la base de una potencia a partir del exponente y el resultado. Yo creo que para vosotros, calcular raíces cuadradas y demás os será fácil. Sólo teneis que observar que pasaría en una potencia si a 2 lo elevas al cuadrado, y te da 4. Al revés, que si haces la raíz cuadrada de 4, obtendrás 2, que es la base.

Elementos radicales:

Algunas propiedades:

*Al introducir un número en un radical, debemos elevar este al número que indique el índice.

*Al sacar un número de un radical, debemos obtener una potencia del radicando, siempre y cuando su exponente sea el mismo que el índice.

*Los radicales se pueden amplificar o simplificar, multiplicando o dividiendo al índice y al exponente del radicando por un mismo número.

*"Raíz de una raíz, producto de índices".

*Si tenemos un radical metido en un paréntesis y elevado a N, lo podemos poner como raíz "lo que sea" del radicando elevado a N.

*La raíz enésima de índice N con radicando A elevado a M, se puede poner como una potencia de exponente fraccionario, de la forma A elevado a M/N.

LOGARITMOS

¿Os acordáis que con los radicales hallábamos la base de una potencia, no? Pues con los logaritmos, podremos hallar cualquier exponente en una potencia cualquiera.

Definición de logaritmo: "El logaritmo en base a de b es el número al que hay que elevar a para que me dé b".

Elementos logarítmicos:

Ejemplo I: Calcula 2^x=8

Ejemplo II: Calcula 5^x=25
La base de un logaritmo puede ser cualquier número. Pero existen dos tipos de logaritmos que se usan con frecuencia:

1-Logaritmo decimal: Es el logaritmo en base 10 de cualquier número. La base, 10, no se suele poner. Se representa mediante log x.

2-Logaritmo neperiano o natural: Es el logaritmo en base e de cualquier número. El número "e", o número de Euler, es irracional y tiene el siguiente valor: e=2,718...

Se representa por ln x.

Propiedades logarítmicas:

*El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de sus factores.

*El logaritmo de un cociente es igual a la resta de los logaritmos del dividendo y divisor.

*El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente potencial por el logaritmo de la base de antigua potencia.

*Cambio de base. Si os habéis fijado, la calculadora solo trabaja con log x y ln x. Para resolver un logaritmo cualquiera con base distinta a "10" y a "e" de un número, se aplica la fórmula del cambio de base.

"Es el cociente entre el logaritmo de la nueva base y el argumento y el logaritmo con la nueva base de la antigua base".

Las nuevas bases pueden ser:

-log x.

-ln x.

Por hoy ya he explicado todo lo que necesitáis saber sobre potencias, raíces y logaritmos. Pondré alguna imagen refiriéndome a las propiedades radicales y logarítmicas. También existen ecuaciones con radicales, exponenciales y logarítmicas. Si alguno quiere hacerlas, que me lo diga, y le pongo ejercicios.

Si tenéis alguna duda, comentadme :)

P.D.: Esto que digo es aparte.

-Sobre las potencias de exponente racional, puedo deciros que consisten en una potencia de base cualquiera y exponente una fracción cualquiera. Si vistéis la 6º propiedad de las raíces, una potencia de exponente fraccionario se puede poner como una raíz de índice denominador y exponente del radicando el numerador.

-Sobre las potencias de exponente irracional, lo único que puedo deciros es que consisten en elevar a un número un irracional, es decir, que sea un decimal ilimitado. Por ejemplo: 2 elevado a "pi"; 3 elevado a "e".

Apartado V: Valor absoluto

El valor absoluto es tan sencillo como convertir cualquier número negativo en positivo. Se representa mediante dos barras horizontales, y entre medias el número.

/a/*

*En toda la entrada, voy a utilizar las barras diagonales.

Ejemplo 1: Calcula el valor absoluto de 3.

/3/=3

Ejemplo 2: Calcula el valor absoluto de -5.

/-5/=5

Aunque parezca que no, el valor absoluto también es utilizado en funciones y en parámetros estadísticos, como la desviación media, o al realizar la primitiva de 1/x.

En negro: Función en valor absoluto.

En verde: Desviación media (Parámetro estadístico).

En rojo: Primitiva de 1/x.


Ya os explicaré más del valor absoluto, como distancia entre dos puntos de la recta real o error absoluto.